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纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

排序算法(Sorting Algorithm)是计算机算法的一个组成部分。

 

排序的目标是将一组数据 (即一个序列) 重新排列,排列后的数据符合从大到小 (或者从小到大) 的次序。这是古老但依然富有挑战的问题。Donald Knuth的经典之作《计算机程序设计艺术》(The Art of Computer Programming)的第三卷就专门用于讨论排序和查找。从无序到有序,有效的减小了系统的 熵值,增加了系统的有序度。对于一个未知系统来说,有序是非常有用的先验知识。因此,排序算法很多时候构成了其他快速算法的基础,比如二分法就是基于有序序列的查找算法。直到今天,排序算法依然是计算机科学积极探索的一个方向。

 

我在这里列出一些最常见的排序方法,并尝试使用C语言实现它们。一组数据存储为一个数组a,数组有n个元素。a[i]为数组中的一个元素,i为元素在数组中的位置 (index)。根据C的规定,数组下标从0开始。假设数组从左向右排列,下标为0的元素位于数组的最左边。

序列将最终排列成 从小到大的顺序。下面函数中的参数ac是数组中元素的数目,也就是n。

(C语言的数组名都转成指针,传递给函数,所以需要传递数组中元素的数目ac给函数,详细见"Expert C Programming: Deep C Secrets"一书)

 

纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

起始数列 (unsorted)

纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

有序数列 (sorted)

 

下面的链接中,有相关算法的动画图例,强烈推荐同时阅读。

http://www.sorting-algorithms.com/

 

冒泡排序 (Bubble Sort)

对于一个已经排序好的序列,它的任意两个相邻元素,都应该满足 a[i-1] <= a[i]的关系。冒泡排序相当暴力的实现了这一目标:不断扫描相邻元素,看它们是否违章。一旦违章,立即纠正。在冒泡排序时,计算机 从右向左遍历数组,比较相邻的两个元素。如果两个元素的顺序是错的,那么sorry,请两位互换。如果两个元素的顺序是正确的,则不做交换。经过一次遍历,我们可以保证最小的元素(泡泡)处于最左边的位置。

然而,经过这么一趟,冒泡排序不能保证所有的元素已经按照次序排列好。我们需要再次从右向左遍历数组元素,进行冒泡排序。这一次遍历,我们不用考虑最左端的元素,因为该元素已经是最小的。遍历结束后,继续重复扫描…… 总共可能进行n-1次的遍历。

如果某次遍历过程中,没有发生交换,bingo,这个数组已经排序好,可以中止排序。如果起始时,最大的元素位于最左边,那么冒泡算法必须经过n-1次遍历才能将数组排列好,而不能提前完成排序。

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      /*  By Vamei  */  
/*
swap the neighbors if out of order */ void bubble_sort( int a[], int ac) {     /* use swap */     int i,j;     int sign;     for (j = 0; j < ac-1; j++ ) {        sign = 0 ;         for(i = ac- 1; i > j; i-- )        {             if(a[i- 1 ] > a[i]) {                sign = 1 ;                swap(a+i, a+i- 1 );            }        }         if (sign == 0) break ;    } }
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插入排序 (Insertion Sort)

假设在新生报到的时候,我们将新生按照身高排好队(也就是排序)。如果这时有一名学生加入,我们将该名学生加入到队尾。如果这名学生比前面的学生低,那么就让该学生和前面的学生交换位置。这名学生最终会换到应在的位置。这就是 插入排序的基本原理。

对于起始数组来说,我们认为最初,有一名学生,也就是最左边的元素(i=0),构成一个有序的队伍。

随后有第二个学生(i=1)加入队伍,第二名学生交换到应在的位置;随后第三个学生加入队伍,第三名学生交换到应在的位置…… 当n个学生都加入队伍时,我们的排序就完成了。

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/*By Vamei*//*insert the next element     into the sorted part*/void insert_sort(int a[], int ac)  {    /*use swap*/      int i,j;          for (j=1; j < ac; j++)       {          i = j-1;        while((i>=0) && (a[i+1] < a[i]))           {              swap(a+i+1, a+i);              i--;          }      }  }
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选择排序 (Selection Sort)

排序的最终结果:任何一个元素都不大于位于它右边的元素 (a[i] <= a[j], if i <= j)。所以,在有序序列中,最小的元素排在最左的位置,第二小的元素排在i=1的位置…… 最大的元素排在最后。

选择排序是先找到起始数组中最小的元素,将它交换到i=0;然后寻找剩下元素中最小的元素,将它交换到i=1的位置…… 直到找到第二大的元素,将它交换到n-2的位置。这时,整个数组的排序完成。

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/*By Vamei*//*find the smallest of the rest,    then append to the sorted part*/void select_sort(int a[], int ac)   {    /*use swap*/      int i,j;    int min_idx;    for (j = 0; j < ac-1; j++)       {          min_idx = j;        for (i = j+1; i < ac; i++)           {            if (a[i] < a[min_idx])               {                  min_idx = i;              }          }          swap(a+j, a+min_idx);      }      }
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希尔排序 (Shell Sort)

我们在冒泡排序中提到,最坏的情况发生在大的元素位于数组的起始。这些位于数组起始的大元素需要多次遍历,才能交换到队尾。这样的元素被称为乌龟(turtle)。

乌龟元素的原因在于,冒泡排序总是 相邻的两个元素比较并交换。所以每次从右向左遍历,大元素只能向右移动一位。(小的元素位于队尾,被称为兔子(rabbit)元素,它们可以很快的交换到队首。)

希尔排序是以 更大的间隔来比较和交换元素,这样,大的元素在交换的时候,可以向右移动不止一个位置,从而更快的移动乌龟元素。比如,可以将数组分为4个子数组(i=4k, i=4k+1, i=4k+2, i=4k+3),对每个子数组进行冒泡排序。比如子数组i=0,4,8,12…。此时,每次交换的间隔为4。

完成对四个子数组的排序后,数组的顺序并不一定能排列好。希尔排序会不断减小间隔,重新形成子数组,并对子数组冒泡排序…… 当间隔减小为1时,就相当于对整个数组进行了一次冒泡排序。随后,数组的顺序就排列好了。

希尔排序不止可以配合冒泡排序,还可以配合其他的排序方法完成。

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/*By Vamei*//*quickly sort the turtles at the tail of the array*/void shell_sort(int a[], int ac)  {    int step;    int i,j;    int nsub;    int *sub;    /* initialize step */      step = 1;    while(step < ac) step = 3*step + 1;    /* when step becomes 1, it's equivalent to the bubble sort*/      while(step > 1) {       /* step will go down to 1 at most */         step = step/3 + 1;       for(i=0; i<step; i++) {           /* pick an element every step,                 and combine into a sub-array */             nsub = (ac - i - 1)/step + 1;                         sub = (int *) malloc(sizeof(int)*nsub);           for(j=0; j<nsub; j++) {                 sub[j] = a[i+j*step];              }           /* sort the sub-array by bubble sorting.                 It could be other sorting methods */             bubble_sort(sub, nsub);           /* put back the sub-array*/             for(j=0; j<nsub; j++) {                 a[i+j*step] = sub[j];             }           /* free sub-array */             free(sub);         }          }  }
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Shell Sorting依赖于间隔(step)的选取。一个常见的选择是将本次间隔设置为上次间隔的1/1.3。见参考书籍。

 

归并排序 (Merge Sort)

如果我们要将一副按照数字大小排序。此前已经有两个人分别将其中的一半排好顺序。那么我们可以将这两堆向上放好,假设小的牌在上面。此时,我们将看到牌堆中最上的两张牌。

我们取两张牌中小的那张取出放在手中。两个牌堆中又是两张牌暴露在最上面,继续取小的那张放在手中…… 直到所有的牌都放入手中,那么整副牌就排好顺序了。这就是 归并排序

 

下面的实现中,使用递归:

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/*By Vamei*//*recursively merge two sorted arrays*/void merge_sort(int *a, int ac)  {    int i, j, k;          int ac1, ac2;    int *ah1, *ah2;    int *container;    /*base case*/          if (ac <= 1) return;    /*split the array into two*/      ac1 = ac/2;      ac2 = ac - ac1;      ah1 = a + 0;      ah2 = a + ac1;    /*recursion*/      merge_sort(ah1, ac1);      merge_sort(ah2, ac2);       /*merge*/      i = 0;      j = 0;      k = 0;      container = (int *) malloc(sizeof(int)*ac);    while(i<ac1 && j<ac2) {        if (ah1[i] <= ah2[j]) {              container[k++] = ah1[i++];          }           else {              container[k++] = ah2[j++];          }      }    while (i < ac1) {          container[k++] = ah1[i++];      }    while (j < ac2) {          container[k++] = ah2[j++];      }    /*copy back the sorted array*/      for(i=0; i<ac; i++) {          a[i] = container[i];      }    /*free space*/      free(container);  }
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快速排序 (Quick Sort)

我们依然考虑按照身高给学生排序。在 快速排序中,我们随便挑出一个学生,以该学生的身高为 参考(pivot)。然后让比该学生低的站在该学生的右边,剩下的站在该学生的左边。

很明显,所有的学生被分成了两组。该学生右边的学生的身高都大于该学生左边的学生的身高。

我们继续,在低身高学生组随便挑出一个学生,将低身高组的学生分为两组(很低和不那么低)。同样,将高学生组也分为两组(不那么高和很高)。

如此继续细分,直到分组中只有一个学生。当所有的分组中都只有一个学生时,则排序完成。

 

在下面的实现中,使用递归:

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/*By Vamei*//*select pivot, put elements (<= pivot) to the left*/void quick_sort(int a[], int ac)  {    /*use swap*/      /* pivot is a position,          all the elements before pivot is smaller or equal to pvalue */      int pivot;    /* the position of the element to be tested against pivot */      int sample;    /* select a pvalue.           Median is supposed to be a good choice, but that will itself take time.         here, the pvalue is selected in a very simple wayi: a[ac/2] */      /* store pvalue at a[0] */      swap(a+0, a+ac/2);      pivot = 1;       /* test each element */      for (sample=1; sample<ac; sample++) {        if (a[sample] < a[0]) {              swap(a+pivot, a+sample);              pivot++;          }      }    /* swap an element (which <= pvalue) with a[0] */      swap(a+0,a+pivot-1);    /* base case, if only two elements are in the array,         the above pass has already sorted the array */      if (ac<=2) return;    else {        /* recursion */          quick_sort(a, pivot);          quick_sort(a+pivot, ac-pivot);      }  }
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理想的pivot是采用分组元素中的中位数。然而寻找中位数的算法需要另行实现。也可以随机选取元素作为pivot,随机选取也需要另行实现。为了简便,我每次都采用中间位置的元素作为pivot。 

 

堆排序 (Heap Sort)

(heap)是常见的数据结构。它是一个有优先级的队列。最常见的堆的实现是一个有限定操作的Complete Binary Tree。这个Complete Binary Tree保持堆的特性,也就是 父节点(parent)大于子节点(children)。因此,堆的根节点是所有堆元素中最小的。堆定义有 插入节点删除根节点操作,这两个操作都保持堆的特性。

我们可以将无序数组构成一个堆,然后不断取出根节点,最终构成一个有序数组。

堆的更详细描述请阅读参考书目。

 

下面是堆的数据结构,以及插入节点和删除根节点操作。你可以很方便的构建堆,并取出根节点,构成有序数组。

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/* By Vamei      Use an big array to implement heap     DECLARE: int heap[MAXSIZE] in calling function     heap[0] : total nodes in the heap     for a node i, its children are i*2 and i*2+1 (if exists)     its parent is i/2  */void insert(int new, int heap[])   {    int childIdx, parentIdx;      heap[0] = heap[0] + 1;      heap[heap[0]] = new;          /* recover heap property */      percolate_up(heap);  }static void percolate_up(int heap[]) {    int lightIdx, parentIdx;      lightIdx  = heap[0];      parentIdx = lightIdx/2;    /* lightIdx is root? && swap? */      while((parentIdx > 0) && (heap[lightIdx] < heap[parentIdx])) {        /* swap */          swap(heap + lightIdx, heap + parentIdx);           lightIdx  = parentIdx;          parentIdx = lightIdx/2;      }  }int delete_min(int heap[])   {    int min;    if (heap[0] < 1) {        /* delete element from an empty heap */          printf("Error: delete_min from an empty heap.");          exit(1);      }    /* delete root          move the last leaf to the root */      min = heap[1];      swap(heap + 1, heap + heap[0]);      heap[0] -= 1;    /* recover heap property */      percolate_down(heap);       return min;  }static void percolate_down(int heap[]) {    int heavyIdx;    int childIdx1, childIdx2, minIdx;    int sign; /* state variable, 1: swap; 0: no swap */      heavyIdx = 1;    do {          sign     = 0;          childIdx1 = heavyIdx*2;          childIdx2 = childIdx1 + 1;        if (childIdx1 > heap[0]) {            /* both children are null */              break;           }        else if (childIdx2 > heap[0]) {            /* right children is null */              minIdx = childIdx1;          }        else {              minIdx = (heap[childIdx1] < heap[childIdx2]) ?                            childIdx1 : childIdx2;          }        if (heap[heavyIdx] > heap[minIdx]) {            /* swap with child */              swap(heap + heavyIdx, heap + minIdx);              heavyIdx = minIdx;              sign = 1;          }      } while(sign == 1);  }
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总结

除了上面的算法,还有诸如Bucket Sorting, Radix Sorting涉及。我会在未来实现了相关算法之后,补充到这篇文章中。相关算法的时间复杂度分析可以参考书目中找到。我自己也做了粗糙的分析。如果博客园能支持数学公式的显示,我就把自己的分析过程贴出来,用于引玉。

上面的各个代码是我自己写的,只进行了很简单的测试。如果有错漏,先谢谢你的指正。

最后,上文中用到的交换函数为:

纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现
/* By Vamei *//* exchange the values pointed by pa and pb*/void swap(int *pa, int *pb)  {    int tmp;      tmp = *pa;    *pa = *pb;    *pb = tmp;  }

 

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