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常用十大算法(六)— 普里姆算法

常用十大算法(六)— 普里姆算法

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博客说明

文章所涉及的资料来自互联网整理和个人总结,意在于个人学习和经验汇总,如有什么地方侵权,请联系本人删除,谢谢!

介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图

最小生成树

  • 最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST。
  • 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
  • N个顶点,一定有N-1条边
  • 包含全部顶点
  • N-1条边都在图中
  • 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

修路问题

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  • 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通
  • 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
  • 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
  • 思路: 将10条边,连接即可,但是总的里程数不是最小.
  • 正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少.

思路

  • 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
  • 若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1
  • 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1
  • 重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边
代码实现
package com.atguigu.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
        int verxs = data.length;
        int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};

        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);
        minTree.prim(graph, 1);
    }

}

//最小生成树
class MinTree {
  //创建
    public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
        int i, j;
        for(i = 0; i < verxs; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for(j = 0; j < verxs; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }
    
    //显示
    public void showGraph(MGraph graph) {
        for(int[] link: graph.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
    
    //prim算法
    public void prim(MGraph graph, int v) {
        int visited[] = new int[graph.verxs];
    //标记已访问
        visited[v] = 1;
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000;
        for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
            for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {
                    if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            visited[h2] = 1;
            minWeight = 10000;
        }
    }
}

class MGraph {
    int verxs;
    char[] data;
    int[][] weight;
    
    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        data = new char[verxs];
        weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

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